Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．折疊紙片使點(diǎn)B落在AD上，落點(diǎn)為B′．點(diǎn)B′從點(diǎn)A開始沿AD移動(dòng)，折痕所在直線l的位置也隨之改變，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B′停止移動(dòng)，連接BB′．設(shè)直線l與AB相交于點(diǎn)E，與CD所在直線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)B′的移動(dòng)距離為x，點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離為y．
（1）求證：∠BEF=∠AB′B；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,矩形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）先由等腰三角形中的三線合一，得出∠BOE=90°，再由∠ABB′+∠BEF=90°，∠ABB′+∠AB′B=90°，得出∠BEF=∠AB′B；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，如圖1所示．作FM⊥AB交AB于點(diǎn)E，在Rt△EAB′中，利用勾股定理求出AE，再由tan∠AB′B=tan∠BEF列出關(guān)系式寫出x的取值范圍即可，
②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2所示．利用勾股定理與三角函數(shù)，列出關(guān)系式，寫出x的取值范圍，

解答：（1）證明：如圖，由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，

∴在等腰△BEB′中，EF是角平分線，
∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，
∵∠ABB′+∠AB′B=90°，
∴∠BEF=∠AB′B；

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)F在CD之間時(shí)，如圖1，作FM⊥AB交AB于點(diǎn)M，

∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，
∴在Rt△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，
∴（6-AE）²=AE²+x²
解得AE=

36-x2

12

，
tan∠AB′B=

AB

AB′

=

6

x

，
tan∠BEF=

MF

EM

=

8

6-y- 36-x2 12

，
∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，
∴

6

x

=

8

6-y- 36-x2 12

，
化簡(jiǎn)，得y=

1

12

x²-

4

3

x+3，（0＜x≤8-2

7

）
②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2所示．
設(shè)直線EF與BC交于點(diǎn)K

設(shè)∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，
則tanθ=

AB′

AB

=

x

6

．
BK=

BE

tanθ

，CK=BC-BK=8-

BE

tanθ

．
∴CF=CK•tanθ=（8-

BE

tanθ

）•tanθ=8tanθ-BE=

4

3

x-BE．
在Rt△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，
∴（6-BE）²+x²=BE²
解得BE=

36+x2

12

．
∴CF=

4

3

x-BE=

4

3

x-

36+x2

12

=-

1

12

x²+

4

3

x-3
∴y=-

1

12

x²+

4

3

x-3（8-2

7

＜x≤6）
綜上所述，
y=

1 12 x2- 4 3 x+3(0＜x≤8-2 7 ) - 1 12 x2+ 4 3 x-3(8-2 7 ＜x≤6)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的問題及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．