【題目】 在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A-1,0),C0,3).

1)求拋物線的解析式;

2)如圖1,P為線段BC上一點,過點Py軸的平行線,交拋物線于點D,當CDP為等腰三角形時,求點P的坐標;

3)如圖2,拋物線的頂點為E,EFx軸于點F,N是直線EF上一動點,Mm,0)是x軸一個動點,請直接寫出CN+MN+MB的最小值以及此時點M、N的坐標.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)當CDP為等腰三角形時,點P的坐標為(1,2)或(2,1)或(3-,);(3)CN+MN+MB的最小值為,N坐標為(1,3-),M坐標為(,0).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;

2)由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式,再設Pt,3-t),即可得Dt,-t2+2t+3),即可求得PD的長,然后分三種情況討論,求點P的坐標;

3)如圖2,構(gòu)造BGx軸成30°角,將MB轉(zhuǎn)化為線段MBG的距離,從而可知C、M、NB′在同一條直線上時,CN+MN+MB取最小值,根據(jù)CG的長和∠CGB=60°即可求出最小值.根據(jù)直線BG求出直線CB′解析式,即求出MN坐標.

解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點ABC,把A-1,0),C0,3)代入解析式得,

,

解得b=2c=3

故該拋物線解析式為:y=-x2+2x+3

2)令-x2+2x+3=0,

解得x1=-1x2=3,

B3,0),

設直線BC的解析式為y=kx+b′,

,

解得:

故直線BC的解析式為y=-x+3;

∴設Pt,3-t),

Dt,-t2+2t+3),

PD=-t2+2t+3-3-t=-t2+3t,

OB=OC=3

∴△BOC是等腰直角三角形,

∴∠OCB=45°,

CD=PC時,則∠CPD=CDP,

PDy軸,

∴∠CPD=OCB=45°

∴∠CDP=45°,

∴∠PCD=90°

∴直線CD的解析式為y=x+3,

D1,4),

此時P1,2);

CD=PD時,則∠DCP=CPD=45°,

∴∠CDP=90°,

CDx軸,

D點的縱坐標為3,

代入y=-x2+2x+3得,3=-x2+2x+3,

解得x=0x=2,

此時P2,1);

PC=PD時,∵PC=t

t=-t2+3t,

解得t=0t=3-,

此時P3-);

綜上,當CDP為等腰三角形時,點P的坐標為(1,2)或(2,1)或(3-).

3CN+MN+MB的最小值為,N坐標為(13-),M坐標為(0).

理由如下:

如圖,取G點坐標為(0,-),連接BG,

B3,0),

∴直線BG解析式為:y=,

tanGBO=30°,

M點作MB′BG,∴,

CN+MN+MB=CN+MN+B′M,

CN+MN+MB取最小值時,CM、N、B′在同一條直線上,

CB′BG

設直線CB′解析式為,∵C0,3

故直線CB′解析式為為

∵拋物線的頂點為E坐標為(1,4),EFx軸,NEF、CB′上,

N坐標為(1,3-),

Mm,0)是x軸一個動點,也是CB′x軸交點,

M0).

CG=3+,∠CGB=60°,

CB′=CGsinCGB=3+×=,

綜上所述:CN+MN+MB的最小值為,N坐標為(13-),M坐標為(,0).

練習冊系列答案
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組別

時間段(小時)

頻數(shù)

頻率

1

0≤x0.5

10

0.05

2

0.5≤x1.0

20

0.10

3

1.0≤x1.5

80

b

4

1.5≤x2.0

a

0.35

5

2.0≤x2.5

12

0.06

6

2.5≤x3.0

8

0.04

1)表中a=______b=______;

2)請補全頻數(shù)分布直方圖;

3)樣本中,學生日閱讀所用時間的中位數(shù)落在第______組;

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②如圖2,點Ey軸負半軸上一點,連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點P、M、N分別和點O、B、E對應),并且點M、N都在拋物線上,作MFx軸于點F,若線段MFBF12,求點MN的坐標;

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