Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是．
【小題1】求點(diǎn)坐標(biāo)及的值；
【小題2】如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對稱，將拋物線C₂向左平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對稱時，求C₃的解析式；
【小題3】如圖（2），點(diǎn)Q是x軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，求頂點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【小題1】由拋物線C₁：得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）
∵點(diǎn)A（－1，0）在拋物線C₁上∴
【小題2】連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對稱,∴PM過點(diǎn)A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）
∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到
∴拋物線C₃的表達(dá)式

【小題3】∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對稱. 由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5.設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0），H坐標(biāo)為（2，0），R坐標(biāo)為（m，－5）.
根據(jù)勾股定理，得
  
 
   
①當(dāng)∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，
解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）
②當(dāng)∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，
解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
綜上所得，當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）或（，5）時，以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

解析