Question

已知拋物線m的頂點(diǎn)為M，拋物線m上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與對應(yīng)的縱坐標(biāo)如下表：

x	…	-2	0	2	3	…
y	…	5	-3	-3	0	…

（1）根據(jù)表中的各對對應(yīng)值，下列說法正確序號是

 

．
①拋物線m開口向上；                        
②拋物線m的對稱軸為x=1；
③拋物線m與x軸有一交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
④當(dāng)x=4時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值y為5．
（2）若將拋物線m繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，試寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線n的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出拋物線m、n的草圖；
（3）若將（2）中拋物線n向上平移1個(gè)單位后，又向左或向右平移若干個(gè)單位，得到頂點(diǎn)為N的拋物線n′，當(dāng)N在拋物線m上時(shí)，問點(diǎn)M是否在平移后的拋物線n′上？試說明其理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可；
（2）利用函數(shù)平移的性質(zhì)得出平移后圖象；
（3）利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)M在平移后的拋物線n'．

解答：解：（1）由表格得出：x=0時(shí)，y=-3；x=2時(shí)，y=-3；x=3時(shí)，y=0，故設(shè)其拋物線解析式為：y=ax²+bx+c
則

c=-3 4a+2b+c=-3 9a+3b+c=0

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
拋物線m的解析式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
故a＞0，則①拋物線m開口向上，正確；                        
②拋物線m的對稱軸為x=1，正確；
③拋物線m與x軸有一交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），正確；
④當(dāng)x=4時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值y為5，正確．
故答案為：①②③④．

（2）∵拋物線m的解析式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
∴拋物線n的解析式為y=-（x+1）²+4．
草圖如右．

（3）點(diǎn)M在平移后的拋物線n'．
理由如下：
上由（2）可知拋物線n'的頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，
拋物線m的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-4）．
又把y=5代入y=（x-1）²-4中，得（x-1）²-4=5，
解得x₁=-2，x₂=4．
即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5），
從而拋物線n'的解析式為y=-（x+2）²+5或
把x=1分別代入y=-（x+2）²+5及y=-（x-4）²+5中，都有y=-4．
故點(diǎn)M在平移后的拋物線n'．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)平移規(guī)律以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．