Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，作AB的垂直平分線，交AB于點D，交AC于點E，連接BE，若DE=CE．
（1）求∠A的度數(shù)．
（2）若BC=5，求△BCE的周長．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=BE，推出∠A=∠ABE，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出∠ABE=∠CBE，推出∠A=∠ABE=∠CBE，得出3∠CBE=90°，求出即可；
（2）解直角三角形求出CE、BE，即可求出答案．

解答：解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∵DE=CE，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠A=∠ABE=∠CBE，
∵∠C=90°，
∴3∠CBE=90°，
∴∠CBE=30°，
即∠A=30°；

（2）∵在△ECB中，∠C=90°，BC=5，∠CBE=30°，
∴CE=BC×tan30°=

5 3

3

，BE=2CE=

10 3

3

，
∴△BCE的周長是BC+CE+BE=5+

5 3

3

+

10 3

3

=5+5

3

．

點評：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是求出∠CBE=30°，題目比較好，難度適中．