Question

如圖，在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為（0，2），半徑為2，點A在⊙C上，點B在x軸的負半軸上，△OAB為等邊三角形．
（1）求點A的坐標；
（2）求證：BA是⊙C的切線；
（3）若將⊙C沿水平方向平移至⊙C′且直線OA是⊙C′的切線，求C′的坐標．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AC，過點C作CD⊥OA，過點A作AE⊥OB，根據(jù)△OAB為等邊三角形可知OA=OB，∠AOB=60°，故可得出∠AOC=30°，由銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長，進而得出OA的長，由此可得出A點坐標；
（2）根據(jù)（1）可知∠AOC=30°，由于AC=OC，故∠OAC=∠AOC=30°，故可得出∠BAC的度數(shù)，進而得出結(jié)論；
（3）由于⊙C運動的方向不能確定，故應(yīng)分向右運動與向左運動兩種情況進行討論．

解答：（1）解：連接AC，過點C作CD⊥OA，過點A作AE⊥OB，
∵△OAB為等邊三角形，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°，
∵OC=AC，
∴OA=2OD，
∵OC=2，
∴OD=OC•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴OA=OB=2

3

，
∴OE=

3

，
∴AE=OA•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
∴A（-

3

，3）；

（2）證明：∵（1）可知∠AOC=30°，AC=OC，
∴∠OAC=∠AOC=30°，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=60°+30°=90°，
∴BA是⊙C的切線；

（3）解：如圖2，⊙C沿水平方向平移至⊙C′時，設(shè)⊙C′與OA相切于點M，與x軸相切于點N，連接C′M，C′N，OC′，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AON=120°，
∵OA與ON均為⊙C′的切線，
∴∠NOC′=

1

2

∠AON=60°，
∵CN=2，
∴ON=

C′N

tan60°

=

2

3

=

2 3

3

，
∴C′（

2 3

3

，2）；
如圖3，當⊙C沿水平方向平移至⊙C′時，
∵由（2）知，BA是⊙C的切線，
∴當⊙C′過點A、B時OA是⊙C′的切線，
∴C′（-2

3

，2）．
綜上所述，C′（

2 3

3

，2）或（-2

3

，2）．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．