Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的圓心為（0，2），半徑為2，點(diǎn)A在⊙C上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，△OAB為等邊三角形．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求證：BA是⊙C的切線；
（3）若將⊙C沿水平方向平移至⊙C′且直線OA是⊙C′的切線，求C′的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB，根據(jù)△OAB為等邊三角形可知OA=OB，∠AOB=60°，故可得出∠AOC=30°，由銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OA的長(zhǎng)，由此可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）可知∠AOC=30°，由于AC=OC，故∠OAC=∠AOC=30°，故可得出∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）由于⊙C運(yùn)動(dòng)的方向不能確定，故應(yīng)分向右運(yùn)動(dòng)與向左運(yùn)動(dòng)兩種情況進(jìn)行討論．

解答：（1）解：連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB，
∵△OAB為等邊三角形，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°，
∵OC=AC，
∴OA=2OD，
∵OC=2，
∴OD=OC•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴OA=OB=2

3

，
∴OE=

3

，
∴AE=OA•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
∴A（-

3

，3）；

（2）證明：∵（1）可知∠AOC=30°，AC=OC，
∴∠OAC=∠AOC=30°，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=60°+30°=90°，
∴BA是⊙C的切線；

（3）解：如圖2，⊙C沿水平方向平移至⊙C′時(shí)，設(shè)⊙C′與OA相切于點(diǎn)M，與x軸相切于點(diǎn)N，連接C′M，C′N(xiāo)，OC′，
∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AON=120°，
∵OA與ON均為⊙C′的切線，
∴∠NOC′=

1

2

∠AON=60°，
∵CN=2，
∴ON=

C′N(xiāo)

tan60°

=

2

3

=

2 3

3

，
∴C′（

2 3

3

，2）；
如圖3，當(dāng)⊙C沿水平方向平移至⊙C′時(shí)，
∵由（2）知，BA是⊙C的切線，
∴當(dāng)⊙C′過(guò)點(diǎn)A、B時(shí)OA是⊙C′的切線，
∴C′（-2

3

，2）．
綜上所述，C′（

2 3

3

，2）或（-2

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．