Question

已知某隧道截面拱形為拋物線形，拱頂離地面10米，底部寬20米．
（1）建立如圖1所示的平面直角坐標系，使y軸為拋物線的對稱軸，求這條拋物線的解析式；
（2）維修隊對隧道進行維修時，為了安全，需要在隧道口搭建一個如圖2所示的矩形支架AB-BC-CD（其中B、C兩點在拋物線上，A、D兩點在地面上），現(xiàn)有總長為30米的材料，那么材料是否夠用？
（3）在（2）的基礎上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是雙向行車道，正中間用護欄隔開，則同一方向行駛的兩輛寬度分別為4米，高度不超過5米的車能否并排通過隧道口？（護欄寬度和兩車間距忽略不計）

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）設y=ax²+c，表示出與x軸的一個交點和與y軸的交點，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）設點C的坐標為（m，n），然后列式整理得到所需材料表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出所需材料的最大值，然后判斷即可；
（3）令n=5求出m的值，然后與車的寬度4米比較即可得解．

解答：解：（1）設y=ax²+c，
由題意拋物線經(jīng)過點（10，0），（0，10），
則

100a+c=0 c=10

，
解得

a=- 1 10 c=10

，
故拋物線的解析式為y=-

1

10

x²+10；

（2）設點C的坐標為（m，n），
則所需材料長度=2m+2n=2m+2×（-

1

10

）m²+2×10=-

1

5

m²+2m+10=-

1

5

（m-5）²+25，
∵-

1

5

＜0，
∴當m=5時，所需材料最多，為25米，
∴總長為30米的材料夠用；

（3）當n=5時，-

1

10

m²+10=5，
解得m=5

2

，
∵5

2

＜2×4，
∴高度不超過5米的車不能并排通過隧道口．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題以及二次函數(shù)的應用，難點在于（2）用二次函數(shù)解析式表示出所需材料的長度，（3）求出高5米時可通過的車輛的寬度．