Question

15．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，且AD：BD=1：3，連接CD，現(xiàn)將CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°度得到線段CE，連接EB，則線段EB的長是5．

Answer 1

分析 連結(jié)AE，如圖，先判斷△ACB為等腰直角三角形得到∠BAC=∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=4，則BD=3，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CD，∠DCE=90°，利用等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可判斷△CBD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°度得到△CAE，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，所以∠BAE=90°，最后在Rt△BAE中利用勾股定理可計(jì)算出EB的長．

解答 解：連結(jié)AE，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=4，
∵AD：BD=1：3，
∴BD=3，
∵CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°度得到線段CE，
∴CE=CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△CBD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°度得到△CAE，
∴AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
在Rt△BAE中，∵AE=3，AB=4，
∴BE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案為5．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．