Question

如圖，已知△OAB的頂點A（3，0），B（0，1），O是坐標(biāo)原點．將△OAB繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC．
（1）寫出C，D兩點的坐標(biāo)；
（2）求過C，D，A三點的拋物線的解析式，并求此拋物線的頂點M的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點N使得NA=NM？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OC=OB，OD=OA，進(jìn)而可得CD兩點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出解析式，并將A、C、D三點的坐標(biāo)代入可得方程組，解可得解析式，進(jìn)而可得M的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo)，連接MB，作ME⊥y軸于E，可得ME、BE、MB的長，進(jìn)而可得BA與MB的關(guān)系，即可求出N的坐標(biāo)，故可作出判斷．

解答：解：（1）C（-1，0），D（0，3）．

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
∵A，C，D在拋物線上
∴

c=3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

解得a=-1，b=2，c=3
即y=-x²+2x+3
又y=-（x-1）²+4
∴M（1，4）．

（3）解：（法一）
連接MB，作ME⊥y軸于E，
則ME=1，BE=4-1=3，
∴MB=

10

，BA=MB，
即在線段AB上存在點N（0，1）（即點B）使得NA=NM．
（法二）
設(shè)在AB上存在點N（a，b）（0≤b≤1）使得NA=NM（即NA²=NM²）
作NP⊥OA于P，NQ⊥對稱軸x=1于Q，
則

b

1

=

3-a

3

?3-a=3b，
∴NA²=b²+（3-a）²=10b²，
NM²=（1-a）²+（4-b）²=10b²-20b+20，
則10b²=10b²-20b+20，
∴b=1．
故在線段AB上存在點N（0，1）（即點B）使得NA=NM．

點評：本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理等考點，解題的關(guān)鍵在于將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合，難度不大．