Question

【題目】如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C，設(shè)AB=4，DC=1，BC=4．

（1）求線段AD的長(zhǎng)．
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出線段BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過(guò)D作DE⊥AB于E點(diǎn)，

AE=4﹣1=3，DE=BC=4，

在Rt△AED中，AD= =5；

（2）解：如圖2，

當(dāng)AP=AD時(shí)，

在Rt△ABP中，BP= =3；

如圖3，

當(dāng)PA=PD時(shí)，

AB2+BP2=CD2+（BC﹣BP）2，即42+BP2=12+（4﹣BP）2，

解得BP= ．

綜上所述，線段BP的長(zhǎng)是3或 ．

【解析】（1）根據(jù)已知可知四邊形ABCD是梯形，要解決梯形的問(wèn)題通過(guò)作高，轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決。因此過(guò)D作DE⊥AB于E點(diǎn)，可證得BCDE是矩形，就可求出DE和AE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理在Rt△AED中求出AD的長(zhǎng)。
（2）根據(jù)題意可知，分兩種情況，當(dāng)AP=AD時(shí)，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)；當(dāng)PA=PD時(shí)，根據(jù)勾股定理，利用PA2=PD2，建立方程，求解即可。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰三角形的判定和勾股定理的概念，掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．