Question

20．如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點A，B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）
（1）求拋物線的表達式，并求出點B坐標；
（2）過點B作BD∥CA，交拋物線與點D，連接BC，CA，AD，求四邊形ACBD的周長（結果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+b與x軸交于點A，B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）可以求得拋物線的解析式，由拋物線與x軸交于A、B兩點，可得點B的坐標；
（2）根據(jù)點A、C的坐標可以求得過點A、C的直線的解析式，由BD∥CA，點B的坐標，可以求得直線BD的解析式，然后將直線BD解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組可以求得點D的坐標，從而可以求得四邊形ACBD的周長．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+b與x軸交于點A，B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$
解得a=-1，b=1．
∴拋物線的表達式是：y=-x²+1．
將y=0代入y=-x²+1得，x₁=-1，x₂=1．
∴點B的坐標為（-1，0）．
即拋物線的表達式是：y=-x²+1，點B的坐標為（-1，0）．
（2）設過點A（1，0），點C（0，1）的直線的解析式為：y=kx+b．
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得，k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵BD∥CA，
∴設過點B（-1，0）的直線的解析式為：y=-x+m．
則0=-（-1）+m．
解得m=-1．
∴直線BD的解析式為：y=-x-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$
解得x₁=-1，x₂=2．
將x=2代入y=-x-1得，y=-3．
∴點D的坐標為（2，-3）．
∵點A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（2，-3），
∴AC=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{2}$，CB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（-1-2）^{2}+[0-（-3）]^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，DA=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$．
∴四邊形ACBD的周長是：AC+CB+BD+DA=$\sqrt{2}+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}=5\sqrt{2}+\sqrt{10}$．
即四邊形ACBD的周長是：$5\sqrt{2}+\sqrt{10}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是根據(jù)題意找出所求問題需要的條件．