Question

如果拋物線m的頂點在拋物線n上，同時拋物線n的頂點在拋物線m上，那么我們就稱拋物線m與n為交融拋物線．
（1）已知拋物線a：y=x²-2x+1．判斷下列拋物線b：y=x²-2x+2，c：y=-x²+4x-3與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說明理由；
（2）在直線y=2上有一動點P（t，2），將拋物線a：y=x²-2x+1繞點P（t，2）旋轉180°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；
（3）M為拋物線a；y=x²-2x+1的頂點，Q為拋物線a的交融拋物線的頂點，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形MQS，使其直角頂點S在y軸上？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）通過以上問題的探究解決，相信你對交融拋物線的概念及性質有了一定的認識，請你提出一個有關交融拋物線的問題．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）求出拋物線a的頂點坐標，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可．
（2）先確定點M的坐標，作點M關于點P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，可求出N的縱坐標，代入求出N的橫坐標，分類討論即可；
（3）設點S（0，c），則點Q的坐標分兩類：①M，Q，S逆時針分布時；②M，Q，S順時針分布時；分別求解即可．
（4）本題答案不唯一，可以自由發(fā)揮．

解答：解：（1）∵拋物線a：y=x²-2x+1=y=（x-1）²的頂點坐標為M（1，0），
當x=1時，y=x²-2x+2=1-2+2=1≠0，
∴點M不在拋物線b上
∴拋物線a與拋物線b不是交融拋物線；
∵當x=1時，y=-x²+4x-3=-1+4-3=0，
∴點M在拋物線c上，
∵拋物線c：y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1的頂點N（2，1），
當x=2時，y=x²-2x+1=4-4+1=1，
∴點N在拋物線a上，
∴拋物線a與拋物線c是交融拋物線；

（2）拋物線a：y=x²-2x+1=（x+1）²的頂點坐標為M（1，0），
作點M關于點P的對稱點N，
分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，

則ME=NF=2，
∴點N的縱坐標為4，
當y=4時，x²-2x+1=4，解得x₁=-1，x₂=3，
∴N（-1，4）或N（3，4），
當N（-1，4）時，設拋物線l的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點M（1，0）在拋物線l上，
∴0=a（1+1）²+4，
∴a=-1，
∴拋物線l的解析式為y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
當N（3，4）時，設拋物線l的解析式為y=a（x-3）²+4，
∵點M（1，0）在拋物線l上，
∴0=a（1-3）²+4，
∴a=-1，
∴拋物線l的解析式為y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5；
∴所求拋物線為y=-x²-2x+3或y=-x²+6x-5．

（3）設點S（0，c），則點Q的坐標分兩類：
①當M，Q，S逆時針分布時（如圖中Q），

過點Q作QD⊥y軸于D，則△QDS≌△SOM，
∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，
∴點Q（c，c+1），
∵點Q在拋物線y=x²-2x+1上，
∴c+1=c²-2c+1，
解得c=0或c=3，
∴S（0，0）或S（0，3），
②當M，Q，S順時針分布時（如圖中Q'），

同理可得Q'（-c，c-1），
∵點Q'在拋物線y=x²-2x+1上，
∴c-1=c²+2c+1，
即c²+c+2=0，
∵△＜0，
∴此方程無解，
綜上所述，存在符合條件的等腰直角三角形，其中S（0，0）或S（0，3）；

（4）參考答案：
例如：（ⅰ）交融拋物線一定是中心對稱圖形嗎？
（ⅱ）交融拋物線的開口方向一定相反嗎？
（ⅲ）交融拋物線的開口大小一樣嗎？
（ⅳ）交融拋物線的開口大小一樣時，需滿足什么條件？
（ⅴ）交融拋物線是軸對稱圖形嗎？

點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了全等三角形的判定，拋物線的頂點坐標及一元二次方程的解，難度較大，關鍵是數形結合思想的運用．