Question

如果拋物線m的頂點(diǎn)在拋物線n上，同時(shí)拋物線n的頂點(diǎn)在拋物線m上，那么我們就稱拋物線m與n為交融拋物線．
（1）已知拋物線a：y=x²-2x+1．判斷下列拋物線b：y=x²-2x+2，c：y=-x²+4x-3與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說(shuō)明理由；
（2）在直線y=2上有一動(dòng)點(diǎn)P（t，2），將拋物線a：y=x²-2x+1繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；
（3）M為拋物線a；y=x²-2x+1的頂點(diǎn)，Q為拋物線a的交融拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形MQS，使其直角頂點(diǎn)S在y軸上？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）通過(guò)以上問(wèn)題的探究解決，相信你對(duì)交融拋物線的概念及性質(zhì)有了一定的認(rèn)識(shí)，請(qǐng)你提出一個(gè)有關(guān)交融拋物線的問(wèn)題．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）求出拋物線a的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可．
（2）先確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，可求出N的縱坐標(biāo)，代入求出N的橫坐標(biāo)，分類討論即可；
（3）設(shè)點(diǎn)S（0，c），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)分兩類：①M(fèi)，Q，S逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)；②M，Q，S順時(shí)針?lè)植紩r(shí)；分別求解即可．
（4）本題答案不唯一，可以自由發(fā)揮．

解答：解：（1）∵拋物線a：y=x²-2x+1=y=（x-1）²的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，0），
當(dāng)x=1時(shí)，y=x²-2x+2=1-2+2=1≠0，
∴點(diǎn)M不在拋物線b上
∴拋物線a與拋物線b不是交融拋物線；
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=-x²+4x-3=-1+4-3=0，
∴點(diǎn)M在拋物線c上，
∵拋物線c：y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1的頂點(diǎn)N（2，1），
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²-2x+1=4-4+1=1，
∴點(diǎn)N在拋物線a上，
∴拋物線a與拋物線c是交融拋物線；

（2）拋物線a：y=x²-2x+1=（x+1）²的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，0），
作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)N，
分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，

則ME=NF=2，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x+1=4，解得x₁=-1，x₂=3，
∴N（-1，4）或N（3，4），
當(dāng)N（-1，4）時(shí)，設(shè)拋物線l的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點(diǎn)M（1，0）在拋物線l上，
∴0=a（1+1）²+4，
∴a=-1，
∴拋物線l的解析式為y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
當(dāng)N（3，4）時(shí)，設(shè)拋物線l的解析式為y=a（x-3）²+4，
∵點(diǎn)M（1，0）在拋物線l上，
∴0=a（1-3）²+4，
∴a=-1，
∴拋物線l的解析式為y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5；
∴所求拋物線為y=-x²-2x+3或y=-x²+6x-5．

（3）設(shè)點(diǎn)S（0，c），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)分兩類：
①當(dāng)M，Q，S逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)（如圖中Q），

過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥y軸于D，則△QDS≌△SOM，
∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，
∴點(diǎn)Q（c，c+1），
∵點(diǎn)Q在拋物線y=x²-2x+1上，
∴c+1=c²-2c+1，
解得c=0或c=3，
∴S（0，0）或S（0，3），
②當(dāng)M，Q，S順時(shí)針?lè)植紩r(shí)（如圖中Q'），

同理可得Q'（-c，c-1），
∵點(diǎn)Q'在拋物線y=x²-2x+1上，
∴c-1=c²+2c+1，
即c²+c+2=0，
∵△＜0，
∴此方程無(wú)解，
綜上所述，存在符合條件的等腰直角三角形，其中S（0，0）或S（0，3）；

（4）參考答案：
例如：（�。┙蝗趻佄锞�一定是中心對(duì)稱圖形嗎？
（ⅱ）交融拋物線的開(kāi)口方向一定相反嗎？
（ⅲ）交融拋物線的開(kāi)口大小一樣嗎？
（ⅳ）交融拋物線的開(kāi)口大小一樣時(shí)，需滿足什么條件？
（ⅴ）交融拋物線是軸對(duì)稱圖形嗎？

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了全等三角形的判定，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及一元二次方程的解，難度較大，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．