Question

如圖，四邊形ABCD，AB+BC=CD+DA，BP平分∠ABM，DP平分∠ADN，求證：∠APB=∠CPD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：延長CB至點M，使MB=AB； 延長CD，使ND=DA，分別連接PM及PN，首先證明△PMB≌△PBA，可得∠BAP=∠BPM，再證明△NPD≌△PAD可得∠APD=∠NPD，再證明△PMC≌△PNC可得∠NPC=∠MPC，PM=PN，再利用角的和差關系可得答案．

解答：證明：延長CB至點M，使MB=AB； 延長CD，使ND=DA，分別連接PM及PN，
∵BP平分∠ABM，DP平分∠ADN，
∴∠PDN=∠PDA，∠PBA=∠PBM．
在△PMB和△PAB中，

PB=PB ∠PBA=∠MBP MB=AB

，
∴△PMB≌△PBA（SAS），
∴∠BAP=∠BPM．
在△NPD和△PAD中，

DN=DA ∠NDP=∠ADP DP=DP

，
∴△NPD≌△PAD（SAS），
∴∠APD=∠NPD，
∵AB+BC=CD+DA，
∴MC=NC．
在△PMC和△PNC中，

NP=PM PC=PC MC=CN

，
∴△PMC≌△PNC（SSS），
∴PM=PN，∠NPC=∠MPC，
∴2∠APB+∠APC=2∠DPA-∠APC，
∴∠APC=∠DPA-∠APB，
∴∠DPC=∠DPA-∠APC=∠DPA-（∠DPA-∠APB）=∠APB．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握全等三角形的判定定理和性質定理．