Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
（1）求k的取值范圍．
（2）若方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可知△＞0，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²+1，進(jìn)而得出關(guān)于k的一元二次方程求出即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
∴（2k+1）²-4（k²+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²+1，
∴x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴[-（2k+1）]²-2（k²+1）=5，
整理得出：k²+2n-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1，
∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系．