【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,拋物線的對稱軸為直線,將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與該拋物線交于兩點(點在點的左側(cè)),點是該拋物線上一點
(1)若,求直線的函數(shù)表達式
(2)若點將線段分成的兩部分,求點的坐標
(3)如圖②,在(1)的條件下,若點在軸左側(cè),過點作直線軸,點是直線上一點,且位于軸左側(cè),當以,,為頂點的三角形與相似時,求的坐標
【答案】(1);(2)或;(3),,,
【解析】
(1)根據(jù)題意易得點M、P的坐標,利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式;
(2)分和兩種情況根據(jù)點A、點B在直線y=x+2上列式求解即可;
(3)分和兩種情況,利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可.
(1)如圖①,設(shè)直線AB與x軸的交點為M.
∵∠OPA=45°,
∴OM=OP=2,即M(-2,0).
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),將M(-2,0),P(0,2)兩點坐標代入,得
,
解得,.
故直線AB的解析式為y=x+2;
(2)①
設(shè)(a>0)
∵點A、點B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上,
∴,
∴,
∴
解得,,(舍去)
②
設(shè)(a>0)
∵點A、點B在直線y=x+2上和拋物線y=x2的圖象上,
∴,
∴,
∴
解得:,(舍去)
綜上或
(3),
,
①
此時,關(guān)于軸對稱,為等腰直角三角形
②
此時滿足,左側(cè)還有也滿足
,,,四點共圓,易得圓心為中點
設(shè),
∵
且不與重合
,
為正三角形,
過作,則,
∵
∴
∴
解得,
∴
∵
∴
∴
解得,
∴
綜上所述,滿足條件的點M的坐標為:,,,.
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,D為弦BC的中點,延長OD交弧BC于點E,點F為OD的延長線上一點且滿足∠OBC=∠OFC,
(1)求證:CF為⊙O的切線;
(2)若四邊形ACFD是平行四邊形,求sin∠BAD的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標分別為A(-2,4),B(4,4),C(6,0).
(1)△ABC的面積是 .
(2)請以原點O為位似中心,畫出△A'B'C',使它與△ABC的相似比為1:2,變換后點A、B的對應(yīng)點分別為點A'、B',點B'在第一象限;
(3)若P(a,b)為線段BC上的任一點,則變換后點P的對應(yīng)點P' 的坐標為 .
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【題目】如圖1,是一建筑物造型的縱截面,曲線是拋物線的一部分,該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線,,是與水平線垂直的兩根支柱,米,米,米.
(1)如圖1,為了安全美觀,準備拆除支柱、,在水平線上另找一點作為地面上的支撐點,用固定材料連接、,對拋物線造型進行支撐加固,用料最省時點,之間的距離是_________.
(2)如圖2,在水平線上增添一張米長的椅子(在右側(cè)),用固定材料連接、,對拋物線造型進行支撐加固,用料最省時點,之間的距離是_______________.
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【題目】如圖,點O為∠ABC的邊上的一點,過點O作OM⊥AB于點,到點的距離等于線段OM的長的所有點組成圖形.圖形W與射線交于E,F兩點(點在點F的左側(cè)).
(1)過點作于點,如果BE=2,,求MH的長;
(2)將射線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到射線BD,使得∠,判斷射線BD與圖形公共點的個數(shù),并證明.
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【題目】一次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,二次函數(shù)圖像經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖像;
(3)求∠ABC的度數(shù).
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙O,交BC于點D,連接AD.過點D作DE⊥AC,垂足為點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)當⊙O半徑為3,CE=2時,求BD長.
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【題目】如圖,已知△ABC,以AC為直徑的⊙O交AB于點D,點E為弧AD的中點,連接CE交AB于點F,且BF=BC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,=,求CE的長.
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