Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2x+3圖象的對稱軸為直線．
（1）請求出該函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）在坐標(biāo)系內(nèi)作出該函數(shù)的圖象；
（3）有一條直線過點P（1，5），若該直線與二次函數(shù)y=-x²+2x+3只有一個交點，請求出所有滿足條件的直線的關(guān)系式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的圖象

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸的公式，可得答案；
（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法，可得拋物線的圖象；
（3）根據(jù)直線與拋物線相切，可得交點是一個，可得答案．

解答：解：（1）x=-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1；
（2）圖象                                  
（3）因為拋物線的對稱軸是x=1，點p（1，5）
當(dāng)過點p且與y軸平行的直線滿足與拋物線只有一個交點
所以直線x=1為所求直線                            
當(dāng)過點p的直線不與y軸平行時，設(shè)直線的解析式為y=kx+b，
令-x²+2x+3=kx+b
整理得-x²+（2-k）x+3-b=0由題意得△=（2-k）²+4（3-b）=0
即：k²-4k+16-4b=0
又因為y=kx+b，過點p（1，5）
所以5=k+b
所以k²-4=0
解得k=±2，
當(dāng)k=2時，b=3；
當(dāng)k=-2時，b=7
所以解析式為y₁=2x+3，y₂=-2x+7，
所以滿足條件的直線有三條：直線x=1；y₁=2x+3，y₂=-2x+7．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，a＜0時，圖象開口向下，對稱軸是x=-

b

2a

．