Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為（10，0）和（

18

5

，-

24

5

），以OB為直徑的⊙A經(jīng)過C點，直線l垂直x軸于B點．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線解析式及頂點坐標；
（3）點M是⊙A上一動點（不同于O，B），過點M作⊙A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設線段ME長為m，MF長為n，請猜想m•n的值，并證明你的結論；
（4）若點P從O出發(fā)，以每秒一個單位的速度向點B作直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C作直線運動，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）用待定系數(shù)法即可求得；
（2）應用待定系數(shù)法以及頂點公式即可求得；
（3）連接AE、AM、AF，則AM⊥EF，證得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理證得∠BAF=∠MAF，進而求得∠EAF=90°，然后根據(jù)射影定理即可求得．
（4）分三種情況分別討論，①當PQ=BQ時，作QH⊥PB，根據(jù)直線BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，②當PB=QB時，則10-t=t即可求得，③當PQ=PB時，作QH⊥OB，根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：（1）設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵直線BC經(jīng)過B、C，
∴

0=10k+b - 24 5 = 18 5 k+b

，
解得：

k= 3 4 b= -15 2

，
∴直線BC的解析式為；y=

3

4

x-

15

2

．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為（10，0）和（

18

5

，-

24

5

），
∴

c=0 0=102a+10b+c - 24 5 =( 18 5 )2a+ 18 5 b+c

，
解得

a= 5 24 b=- 25 12 c=0

，
∴拋物線的解析式為：y=

5

24

x²-

25

12

x；
∴x=-

b

2a

=-

- 25 12

5 12

=5，y=

5

24

x²-

25

12

x=

5

24

×5²-

25

12

×5=-

125

24

，
∴頂點坐標為（5，-

125

24

）；

（3）m•n=25；
如圖2，連接AE、AM、AF，則AM⊥EF，
在Rt△AOE與Rt△AME中

OA=MA AE=AE

∴Rt△AOE≌Rt△AME（HL），
∴∠OAE=∠MAE，
同理可證∠BAF=∠MAF，
∴∠EAF=90°，
在Rt△EAF中，根據(jù)射影定理得AM²=EM•FM，
∵AM=

1

2

OB=5，ME=m，MF=n，
∴m•n=25；

（4）如圖3．有三種情況；
①當PQ=BQ時，作QH⊥PB，
∵直線BC的斜率為

3

4

，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；
∵HB=（10-t）×

1

2

，BQ=t，
∴

(10-t)× 1 2

t

=

4

5

，
解得；t=

50

13

，
②當PB=QB時，則10-t=t，
解得t=5，
③當PQ=PB時，作QH⊥OB，則PQ=PB=10-t，BQ=t，HP=

4

5

t-（10-t），QH=

3

5

t；
∵PQ²=PH²+QH²，
∴（10-t）²=【

4

5

t-（10-t）]²+（

3

5

t）²；
解得t=

80

13

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，頂點坐標的求法，圓的切線的性質，數(shù)形結合分類討論是本題的關鍵．