Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD為BC邊上的高，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AC，AE與DE交于點E，AB與DE交于點F，連結BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）求四邊形AEBD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質和矩形的判定定理推知平行四邊形AEBD是矩形．
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的長度，由等腰三角形的性質求得BD的長度，則矩形的面積=長×寬=AD•BD，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四邊形AEDC是平行四邊形．
∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，
∴∠ADB=90°，BD=CD．
∴BD=AE．
∴四邊形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴四邊形AEBD的面積=BD•AD═3×4=12．

點評 本題考查了矩形的判定與性質和勾股定理，根據(jù)“等腰三角形的性質和有一內(nèi)角為直角的平行四邊形為矩形”推知平行四邊形AEBD是矩形是解題的難點．