Question

14．閱讀下文，尋找規(guī)律：
已知x≠1時(shí)，（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸
（2）觀察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1．
（3）根據(jù)你的猜想，計(jì)算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=-63．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；
（2）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)兩式即可；
（3）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)兩式即可．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸；
（2）觀察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1；
（3）根據(jù)你的猜想，計(jì)算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=-63；
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=-（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=2²⁰⁰⁸-1．
故答案為：（1）1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷；（2）①1-xⁿ⁺¹；②x¹¹-1；（3）①-63；②2²⁰⁰⁸-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．