Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DF與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．
（1）求線段DE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)過(guò)E的直線與拋物線相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），試判斷當(dāng)|x₁-x₂|的值最小時(shí)，直線MN與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)P為x軸上的一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，當(dāng)tan∠α=4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可求得與坐標(biāo)軸的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BC的解析式，把對(duì)稱(chēng)軸代入直線BC的解析式即可求得．
（2）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，依據(jù)E（1，2）的坐標(biāo)即可表示出直線MN的解析式y(tǒng)=（2-b）x+b，根據(jù)直線MN的解析式和拋物線的解析式即可求得x²-bx+b-3=0，所以x₁+x₂=b，x₁ x₂=b-3；根據(jù)完全平方公式即可求得∵|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4(b-3)

=

(b-2)2+8

，所以當(dāng)b=2時(shí)，|x₁-x₂|最小值=2

2

，因?yàn)閎=2時(shí)，y=（2-b）x+b=2，所以直線MN∥x軸．
（3）由D（1，4），則tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠DPO=∠ADO，進(jìn)而求得△ADP∽△AOD，得出AD²=AO•AP，從而求得OP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：由拋物線y=-x²+2x+3可知，C（0，3），
令y=0，則-x²+2x+3=0，解得：x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴頂點(diǎn)x=1，y=4，即D（1，4）；
∴DF=4
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；

0=3k+b 3=b

，解得

k=-1 b=3

，
∴解析式為；y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴EF=2，
∴DE=DF-EF=4-2=2．

（2）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
∵E（1，2），
∴2=k+b，
∴k=2-b，
∴直線MN的解析式y(tǒng)=（2-b）x+b，
∵點(diǎn)M、N的坐標(biāo)是

y=(2-b)x+b y=-x2+2x+3

的解，
整理得：x²-bx+b-3=0，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=b-3；
∵|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4(b-3)

=

(b-2)2+8

，
∴當(dāng)b=2時(shí)，|x₁-x₂|最小值=2

2

，
∵b=2時(shí)，y=（2-b）x+b=2，
∴直線MN∥x軸．

（3）如圖2，∵D（1，4），

∴tan∠DOF=4，
又∵tan∠α=4，
∴∠DOF=∠α，
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，
∵∠DAO+∠DPO=∠α，
∴∠DPO=∠ADO，
∴△ADP∽△AOD，
∴AD²=AO•AP，
∵AF=2，DF=4，
∴AD²=AF²+DF²=20，
∴OP=19，
同理，當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，OP=17．
∴P₁（19，0），P₂（-17，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，以及相似三角形的判定及性質(zhì)，求得三角形相似是本題的關(guān)鍵．