Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且BC=3，AC=5，CP平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)P，交直徑AB于點(diǎn)D，則線段CP的長為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理及勾股定理可得AP的長，過D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形CFDG是正方形，設(shè)DF=DG=x，由三角形面積公式可求出x的值，及CD的值，根據(jù)△APD∽△CBD，根據(jù)相似比可求出PD的長，進(jìn)而求出CP的長．

解答 解：連接AP，BP，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AC=5，
∴AB=$\sqrt{34}$，
∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AP}=\widehat{BP}$，
∴AP=BP=$\sqrt{17}$，
過D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形CFDG是正方形，
設(shè)DF=DG=x，
∴$\frac{1}{2}$AC•x+$\frac{1}{2}$BC•x=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴$\frac{1}{2}$×5•x+$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{1}{2}$×5×3，
∴x=$\frac{15}{8}$，
∴CD=$\frac{15\sqrt{2}}{8}$，AD=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+（5-\frac{15}{8}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{34}}{8}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∵∠PAB=∠PCB，
∵△APD∽△CBD，
∴PD：BD=AP：BC，
∴PD：$\frac{3\sqrt{34}}{8}$=$\sqrt{17}$：3，
∴PD=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，
∴PC=CD+PD=$\frac{15\sqrt{2}}{8}$+$\frac{17\sqrt{2}}{8}$=4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，及相似三角形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造正方形．