如圖,四邊形ABCD的邊AB在x軸上,A與O重合,CD∥AB,D(0,6
3
),直線AE與CD交于E,DE=6.以BE為折痕,把點(diǎn)A翻恰好與點(diǎn)C重合;動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿著D→C→B→O路徑勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒4個(gè)單位;以P為圓心的⊙P半徑每秒增加
3
個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D處時(shí),⊙P半徑為
3
;直線AE沿y軸正方向向上平移,速度為每秒
3
3
個(gè)單位;直線AE、⊙P同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到終點(diǎn)O時(shí)兩者都停止,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t;
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求當(dāng)直線AE與⊙P相切時(shí)t的值;
(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中直線AE與⊙P相交的時(shí)間共有幾秒?(直接寫出答案)
考點(diǎn):圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義
專題:綜合題
分析:(1)根據(jù)勾股定理可求出AE長,易證△ABE是等邊三角形,從而得到AB=AE,就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)由于點(diǎn)P在不同的線段上運(yùn)動(dòng),需分情況討論,可分四種情況(點(diǎn)P在DE上、點(diǎn)P在EC上、點(diǎn)P在BC上、點(diǎn)P在OB上)進(jìn)行討論,然后利用三角函數(shù)建立方程,就可求出相應(yīng)t的值.
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,可得到直線AE與⊙P相交時(shí)t的范圍,就可求出相交時(shí)間.
解答:解:(1)連接BE,如圖1,
∵CD∥AB,
∴∠CDO+∠BOD=90°.
∵∠BOD=90°,
∴∠CDO=90°.
∵D(0,6
3
),
∴AD=6
3

∵DE=6,
∴AE=
AD2+DE2
=12.
∴sin∠AED=
AD
AE
=
3
2

∴∠AED=60°.
∵CD∥AB,
∴∠EAB=∠AED=60°.
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得:AE=EC,AB=BC,∠AEB=∠CEB=
180°-∠AED
2
=60°.
∴△ABE是等邊三角形.
∴AB=AE.
∵AE=12,
∴BC=AB=AE=EC=12.
∴B(12,0).

(2)①當(dāng)圓心P在線段DE上時(shí),過點(diǎn)P作PH⊥AE于H,如圖2,

則有DP=4t,OA=
3
3
t,AD=6
3
-
3
3
t,PH=
3
+
3
t.
在Rt△ADE中,
∵tan∠AED=
AD
DE
=
3
,
∴DE=6-
1
3
t.
∴PE=DE-DP=6-
1
3
t-4t.
在Rt△PHE中,
則有sin60°=
3
+
3
t
6-4t-
1
3
t
=
3
2
,
解得:t1=
12
19

②當(dāng)圓心P在線段EC上時(shí),過點(diǎn)P作PH⊥AE于H,如圖3,

同理可得:PH=
3
+
3
t,PE=DP-DE=4t-6+
1
3
t.
在Rt△PHE中,
則有sin60°=
3
+
3
t
4t-6+
1
3
t
=
3
2
,
解得:t2=
24
7

③當(dāng)圓心P在線段BC上時(shí),過點(diǎn)P作PH⊥AE于H,過點(diǎn)C作CG⊥AE于G,如圖4,

∵AE∥BC,PH⊥AE,CG⊥AE,
∴GC=PH.(平行線之間的垂線段相等)
在Rt△EGC中,
∵GC=PH═
3
+
3
t,EC=DC-DE=18-(6-
1
3
t)=12+
1
3
t,
sin60°=
3
+
3
t
12+
1
3
t
=
3
2

解得:t3=6.
④當(dāng)圓心P在線段BO上時(shí),

∵EC∥BF,EF∥BC,
∴四邊形ECBF是平行四邊形.
∴FB=EC=12+
1
3
t.
∵PB=4t-18-12=4t-30,
∴PF=FB-PB=42+
1
3
t-4t.
在Rt△FHP中,
∵∠HFP=60°,PH=
3
+
3
t,PF=42+
1
3
t-4t,
sin60°=
3
+
3
t
42-4t+
1
3
t
=
3
2

解得:t4=
120
17

∵點(diǎn)P在OB上,
30
4
≤t≤
42
4
,即
15
2
≤t≤
21
2

120
17
15
2
,
∴t4=
120
17
不符合要求,故舍去.
綜上所述:當(dāng)直線AE與⊙P相切時(shí)t的值為
12
19
秒或
24
7
秒或6秒.

(3)由(2)可知:當(dāng)
12
19
<t<
24
7
和6<t≤
21
2
時(shí),直線AE與⊙P相交.
則相交的時(shí)間為(
24
7
-
12
19
)+(
21
2
-6)=
1941
266
(秒).
所以在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中直線AE與⊙P相交的時(shí)間共有
1941
266
秒.
點(diǎn)評(píng):本題在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中,考查了圓的切線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理、平行線之間的垂線段相等、平行線的性質(zhì)等知識(shí),還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng),有一定的難度.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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表1
x-3-2-101
y-12
5
2-1
表2
x-4-3-2-101
y-2-10123
直線l和⊙P的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),試解答下列問題:
(1)點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為
 
;
(2)求⊙P的半徑;
(3)若坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)M,使∠ABM=90°,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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已知:m>0,n>0,且m≠n,化簡
3m
2m+
mn
•(
m3
-
n3
m-
mn
-
m-n
m
+
n
).

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計(jì)算:(
1
3
-1-|-2|+
16
-(
3
+1)0

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若不等式組
x-2<m
x>11
無解,則m的取值范圍是
 

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