Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，作直線BP，過(guò)A、C、D三點(diǎn)分別作直線BP的垂線段，垂足分別是E、F、G．

（1）如圖（a）所示，當(dāng)CP＝3時(shí)，求線段EG的長(zhǎng)；

（2）如圖（b）所示，當(dāng)∠PBC＝30°時(shí)，四邊形ABCF的面積；

（3）如圖（c）所示，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AECG的面積S是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出∠PBC為多少度時(shí)，S有最大值，最大值是多少？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6+2；（3）當(dāng)∠PBC為22.5°時(shí)，S有最大值，最大值是4+4．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥AE，由題意可證四邊形DREG是矩形，即DR＝EG，由勾股定理可求BP＝5，由等角的余角相等可得∠ADR＝∠PBQ，可證△ADR∽△PBC，可得,可求出DR＝，即EG＝；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，作FN⊥BC于點(diǎn)N，由題意可證四邊形BNFM是矩形，可得FM＝BN，由直角三角形的性質(zhì)可求CF＝2，NC＝1，FN＝NC＝，即FM＝BN＝3，根據(jù)S四邊形ABCF＝S△ABF+S△BFC，可求四邊形ABCF的面積；（3）連接AF，AC，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥AE，由第一問(wèn)的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)可得BF＝EG，由S四邊形AECG＝S△AEG+S△CEG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF＝S四邊形ABCF＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，則當(dāng)點(diǎn)F在AC的右側(cè)，且到AC距離最大時(shí)，S四邊形AECG值最大，由點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)F，點(diǎn)N四點(diǎn)在以O為圓心，OC為半徑的圓上，可知當(dāng)OF⊥AC時(shí)，點(diǎn)F到AC距離最大，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可求四邊形AECG的面積S是的最大值和∠PBC的度數(shù)；

解：

（1）如圖，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC＝4，AD∥BC，

∴∠DAR＝∠AQB，

∵∠AQB+∠PBC＝90°，∠DAR+∠ADR＝90°，

∴∠ADR＝∠PBC，

∵PC＝3，BC＝4，

∴BP＝＝5，

∵∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠BCD＝90°，

∴△ADR∽△PBC，

∴，

∴，

∴DR＝，

∵DR⊥AE，DG⊥BP，AE⊥BP，

∴四邊形DREG是矩形，

∴EG＝DR＝；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，作FN⊥BC于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，

∵FM⊥AB，FN⊥BC，∠ABC＝90°，

∴四邊形BNFM是矩形，

∴FM＝BN，

∵∠PBC＝30°，

∴FC＝BC＝2，∠FCB＝60°，

∴∠NFC＝30°，

∴NC＝1，FN＝NC＝，

∴BN＝BC﹣NC＝4﹣1＝3＝MF，

∴S四邊形ABCF＝S△ABF+S△BFC，

∴S四邊形ABCF＝×4×3+×4×＝6+2；

（3）如圖，連接AF，AC，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥AE，

由第一問(wèn)可得，DR＝EG，∠ADR＝∠PBC，

∵AD＝BC，∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠CFB＝90°，

∴△ADR≌△CBF（AAS）

∴DR＝BF，

∴BF＝EG，

∵S四邊形AECG＝S△AEG+S△CEG，

∴S四邊形AECG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF，

∴S四邊形AECG＝S四邊形ABCF，

∴S四邊形AECG＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，

∴當(dāng)點(diǎn)F在AC的右側(cè)，且到AC距離最大時(shí)，S四邊形AECG值最大，

如圖，連接BD交AC于點(diǎn)N，取BC中點(diǎn)O，連接ON，OF交AC于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BNC＝90°＝∠BFC，BN＝CN，

∴點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)F，點(diǎn)N四點(diǎn)在以O為圓心，OC為半徑的圓上，

∴OC＝OF＝ON＝2，

∵BN＝CN，BO＝CO，∠BNC＝90°，

∴∠CON＝90°，∠BCN＝∠CNO＝45°，

∴NC＝，

即AC＝，

當(dāng)OF⊥AC時(shí)，點(diǎn)F到AC的距離最大，

∵OF⊥AC，ON＝OC，∠NOC＝90°，

∴OM＝MN＝MC＝，∠FOC＝∠NOC＝45°，

∴FM＝2﹣，

∴四邊形AECG的面積S的最大值＝8+×4×（2﹣）＝4+4，

∵OB＝OF，

∴∠PBO＝∠OFB，

∵∠PBO+∠OFB＝∠FOC＝45°，

∴∠PBC＝22.5°，

∴當(dāng)∠PBC為22.5°時(shí)，S有最大值，最大值是4+4.