Question

13．已知在△ABC中，AB=BC=8cm，∠ABC=90°，點(diǎn)E以每秒1cm/s的速度由A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，ED⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△BMD的面積為12.5cm²？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)證出∠BMD=90°即可；
（2）由等腰直角三角形的面積求出BM，得出CE，由勾股定理求出BE，得出AE，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，AB=BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE=CM，DM=$\frac{1}{2}$CE=CM，∠BAC=∠ACB=45°，
∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=∠MBC+∠MCB，∠DME=∠MDC+∠MCD，∠MCB+∠MCD=∠ACB=45°，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=45°+45°=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形；
（2）解：由（1）得：△BMD為等腰直角三角形，
∴△BMD的面積=$\frac{1}{2}$BM•DM=$\frac{1}{2}$BM²=12.5，
解得：BM=5，
∴CE=2BM=10cm，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=6（cm），
∴AE=AB-BE=2cm，
∴2÷1=2（s），
即當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△BMD的面積為12.5cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算；證明三角形是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．