Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥AB，AD=2，AB+CD=4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）若AE⊥BC，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）S=4；（2）.

【解析】

（1）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為三角形DAF的面積來(lái)解答；（2）連接AC，設(shè)CD=x，根據(jù)勾股定理列方程可解答．

解：（1）如圖1，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于F，

∵DC∥AB，

∴∠C=∠EBF，

∵CE=BE，∠DEC=∠FEB，

∴△DCE≌△FBE（ASA），

∴BF=DC，

∵AB+CD=4，

∴AB+BF=4=BF，

∴S四邊形ABCD=S四邊形ABED+S△DCE=S四邊形ABED+S△EBF=S△DAF=ADAF=×2×4=4；

（2）如圖2，連接AC，

∵CE=BE，AE⊥BC，

∴AC=AB，

設(shè)CD=x，則AB=AC=4-x，

Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AD2=AC2，

x2+22=（4-x）2，

解得：，

∴．