Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，點D為BC的中點，CE⊥AD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．

Answer 1

分析 作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD=BG，∠CDA=∠CGB，證出BG=BD，∠FBD=∠GBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB=∠FDB，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，如圖所示：
∵∠CBG=90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD=BG，∠CDA=∠CGB，
∵CD=BD，
∴BG=BD，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBD=∠GBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BD}\\{∠FBD=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB=∠FDB，
∴∠ADC=∠BDF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．