Question

已知點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：PB=PD；
（2）如圖2，過點(diǎn)P作PB的垂線，交邊CD于點(diǎn)Q，求證△PQD是等腰三角形；
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長為1，AP=

1

3

，求△PQD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAP=∠DAP，然后利用“邊角邊”證明△BAP和△DAP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠PBC+∠PQC=180°，然后求出∠PBC=∠PQD，再根據(jù)等角的余角相等求出∠PBC=∠PDC，從而得到∠PQD=∠PDC，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，根據(jù)正方形性質(zhì)求出PM、PN，再求出DQ，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC為一條對角線，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，

AB=AD ∠BAP=∠DAP AP=AP

，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵PB⊥PQ，
∴∠PBC+∠PQC=180°，
∵∠PQD+∠PQC=180°，
∴∠PBC=∠PQD，
∵△BAP≌△DAP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PQD=∠PDC，
∴PQ=PD；

（3）解：如圖2，過點(diǎn)P作PM⊥CD于M，作PN⊥AD于N，
∵正方形ABCD的邊長為1，AP=

1

3

，
∴PN=

1

3

×

2

2

=

2

6

，PM=1-

2

6

，
∵PD=PQ，
∴DQ=2MD=2PN=

2

6

×2=

2

3

，
△PQD的面積=

1

2

×

2

3

×（1-

2

6

）=

3 2 -1

18

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．