Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)（），與軸交于點(diǎn)，拋物線（）經(jīng)過，兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，

①求拋物線的關(guān)系式；

②設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示的長，并求當(dāng)為何值時(shí)，？

（2）若長的最大值為16，試討論關(guān)于的一元二次方程的解的個(gè)數(shù)與的取值范圍的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；當(dāng)x=1或x=4時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，一元二次方程有一個(gè)解；當(dāng)＞16時(shí)，一元二次方程無解；當(dāng)＜16時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)解．

【解析】

（1）①首先根據(jù)題意得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式即可得出其表達(dá)式；

②首先由點(diǎn)A的坐標(biāo)得出直線解析式，然后得出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行構(gòu)建方程，即可得解；

（2）首先得出，然后由PQ的最大值得出最大值，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)分類討論一元二次方程的解即可.

（1）①∵m=5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）．

將x=0代入，得y=2．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．

將A（5，0），B（0，2）

代入，得

解得

∴拋物線的表達(dá)式為．

②將A(5，0)代入，解得：．

∴一次函數(shù)的表達(dá)為．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

又∵PQ∥y軸，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

∴

∵，

∴

解得：，

∴當(dāng)x=1或x=4時(shí)，；

（2）由題意知：

設(shè)，

∴為的二次函數(shù)，又＜，

∵長的最大值為16，

∴最大值為16．

∴由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知

當(dāng)時(shí)，一元二次方程有一個(gè)解；

當(dāng)＞16時(shí)，一元二次方程無解；

當(dāng)＜16時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)解．.