Question

正方形ABCD內(nèi)有兩點(diǎn)E、F滿足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，則正方形ABCD的面積

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EM與FM的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AM與CM的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)，在Rt△ABC中，由AB=AC•sin45°，即可求出正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：連接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=1，EF=FC=3，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=

3

4

，F(xiàn)M=

9

4

，
在Rt△AEM中，AM=

AE2+EM2

=

5

4

，
在Rt△FCM中，CM=

CF2+FM2

=

15

4

，
∴AC=AM+CM=5，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB²+BC²=AC²=25，
∴AB²=

25

2

故正方形ABCD的面積為

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．