Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應(yīng)點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

    解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，

∴，

解得 ，

∴解析式為y=﹣x²﹣2x+3

∵﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴拋物線頂點坐標D為（﹣1，4）．

（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴設(shè)AD為解析式為y=kx+b，有 ，

解得 ，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S_△APE=•PE•y_P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x²﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），當x=﹣=﹣時，S取最大值．

（3）如圖1，設(shè)P′F與y軸交于點N，過P′作P′M⊥y軸于點M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，

∵PF∥y軸，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

設(shè)EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，

∵（3﹣m）²+（）²=m²，

∴m=．

∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，

∴P′M=．

在Rt△EMP′中，

∵EM==，

∴OM=EO﹣EM=，

∴P′（，）．

當x=時，y=﹣（）²﹣2•+3=≠，

∴點P′不在該拋物線上．