【題目】如圖1,在ABC中,ABAC,∠BAC90°DAC邊上一動點(diǎn),且不與點(diǎn)A點(diǎn)C重合,連接BD并延長,在BD延長線上取一點(diǎn)E,使AEAB,連接CE

1)若∠AED20°,則∠DEC   度;

2)若∠AEDa,試探索∠AED與∠AEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想;

3)如圖2,過點(diǎn)AAFBE于點(diǎn)FAF的延長線與EC的延長線交于點(diǎn)H,求證:EH2+CH22AE2

【答案】145度;(2)∠AEC﹣∠AED45°,理由見解析;(3)見解析

【解析】

1)由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE140°,可得∠CAE50°,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠ACE65°,即可求解;

2)由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE180°,可得∠CAE90°,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC=∠ACE45°+α,可得結(jié)論;

3)如圖,過點(diǎn)CCGAHG,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得EHEF,CHCG,由AAS可證AFB≌△CGA,可得AFCG,由勾股定理可得結(jié)論.

解:(1)∵ABAC,AEAB,

ABACAE,

∴∠ABE=∠AEB,∠ACE=∠AEC,

∵∠AED20°,

∴∠ABE=∠AED20°,

∴∠BAE140°,且∠BAC90°

∴∠CAE50°,

∵∠CAE+ACE+AEC180°,且∠ACE=∠AEC,

∴∠AEC=∠ACE65°

∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED45°,

故答案為:45;

2)猜想:∠AEC﹣∠AED45°,

理由如下:∵∠AED=∠ABEα,

∴∠BAE180°,

∴∠CAE=∠BAE﹣∠BAC90°,

∵∠CAE+ACE+AEC180°,且∠ACE=∠AEC,

∴∠AEC45°+α,

∴∠AEC﹣∠AED45°;

3)如圖,過點(diǎn)CCGAHG,

∵∠AEC﹣∠AED45°,

∴∠FEH45°

AHBE,

∴∠FHE=∠FEH45°,

EFFH,且∠EFH90°,

EHEF,

∵∠FHE45°,CGFH,

∴∠GCH=∠FHE45°,

GCGH,

CHCG,

∵∠BAC=∠CGA90°,

∴∠BAF+CAG90°,∠CAG+ACG90°,

∴∠BAF=∠ACG,且ABAC,∠AFB=∠AGC,

∴△AFB≌△CGAAAS

AFCG,

CHAF,

∵在RtAEF中,AE2AF2+EF2,

∴(AF2+EF22AE2,

EH2+CH22AE2

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