Question

如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BO，連接BG、DF．若AG=13，CF=6，求四邊形BOFG的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BGFO是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF=

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2

AC，然后求出OB=OF，判斷出四邊形BOFG是菱形，設(shè)GF=x，表示出AF、AC，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵AF∥BD，F(xiàn)G=BO，
∴四邊形BGFO是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=

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2

AC，
∵CE⊥BD，AF∥BD，
∴CF⊥AF，
∴OF=

1

2

AC，
∴OB=OF，
∴四邊形BOFG是菱形，
設(shè)GF=x，則AF=13-x，AC=2OF=2x，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，AF²+CF²=AC²，
即（13-x）²+6²=（2x）²，
整理得，3x²+26x-205=0，
解得x₁=5，x₂=-

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3

（舍去），
∴GF=5，
四邊形BOFG的周長(zhǎng)=4×5=20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．