【題目】如圖1,是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以為邊,在的同側(cè)構(gòu)造菱形和菱形三點(diǎn)在同一條直線上連結(jié),設(shè)射線與射線交于.

1)當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí),求證:四邊形是平形四邊形.

2)連結(jié),當(dāng)四邊形恰為矩形時(shí),求的長(zhǎng).

3)如圖2,設(shè),,記點(diǎn)之間的距離為,直接寫出的所有值.

【答案】1)見解析;(2FG;(3d14.

【解析】

1)由菱形的性質(zhì)可得APEF,∠APF=∠EPFAPE,PBCD,∠CDB=∠PDBCDP,由平行線的性質(zhì)可得∠FPE=∠BDP,可得PFBD,即可得結(jié)論;

2)由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得FGPB2EF2AP,即可求FG的長(zhǎng);

3)分兩種情況討論,由勾股定理可求d的值;點(diǎn)GDP的右側(cè),連接AC,過(guò)點(diǎn)CCHAB,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H;若點(diǎn)GDP的左側(cè),連接AC,過(guò)點(diǎn)CCHAB,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

1)∵四邊形APEF是菱形

APEF,∠APF=∠EPFAPE,

∵四邊形PBCD是菱形

PBCD,∠CDB=∠PDBCDP

∴∠APE=∠PDC

∴∠FPE=∠BDP

PFBD,且APEF

∴四邊形四邊形FGBP是平形四邊形;

2)若四邊形DFPG恰為矩形

PDFG,PEDEEFEG,

PD2EF

∵四邊形APEF是菱形,四邊形PBCD是菱形

APEF,PBPD

PB2EF2AP,且AB10

FG=PB.

3)如圖,點(diǎn)GDP的右側(cè),連接AC,過(guò)點(diǎn)CCHAB,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

FE2EG,

PBFG3EG,EFAP2EG

AB10

AP+PB5EG10

EG2

AP4,PB6BC,

∵∠ABC120°

∴∠CBH60°,且CHAB

BHBC3,CHBH3

AH13

AC14

若點(diǎn)GDP的左側(cè),連接AC,過(guò)點(diǎn)CCHAB,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

FE2EG,

PBFGEG,EFAP2EG

AB10,

3EG10

EG

BPBC

∵∠ABC120°,

∴∠CBH60°,且CHAB

BHBCCHBH

AH

AC

綜上所述:d14.

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