Question

數(shù)學(xué)課上，張老師正在上課：同學(xué)們，我們學(xué)過四個(gè)頂點(diǎn)在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角（相對(duì)的兩個(gè)角）互補(bǔ)．下面我們來研究它外角的性質(zhì)．

（1）在圖①中作出圓內(nèi)接四邊形ABCD中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的外角∠DCE，并請你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對(duì)角（簡稱內(nèi)對(duì)角）∠A的關(guān)系，并證明∠DCE與∠A的關(guān)系；
（2）分別延長BD、AD到點(diǎn)F、E，如圖②，已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，如果DE平分∠FDC，請你探索AB與AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
（3）如圖③，點(diǎn)D是圓上一點(diǎn)，弦AB=

3

，DC是∠ADB的平分線，∠BAC=30°．當(dāng)∠DAC等于多少度時(shí)，四邊形DACB有最大面積？最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形得出∠2=∠ABC，再根據(jù)∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB得出∠1=∠ACB，由DE平分∠FDC可知∠1=∠2所以∠ABC=∠ACB，由此可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)DC平分∠ADB可知∠ADC=∠BDC，再由∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，得出∠ABC=∠BAC，進(jìn)而AC=BC，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC=1，由于S_{四邊形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC為定值，當(dāng)S_△DAB最大時(shí)，四邊形DACB面積最大，要使四邊形DACB面積最大，只需求出面積最大的△DAB 即可在△DAB中，AB邊不變，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí)，四邊形DACB面積最大，此時(shí)△DAB為等邊三角形，此時(shí)DC應(yīng)為圓的直徑，∠DAC=90°，根據(jù)∠ADC=∠BAC=30°可知DC=2AC=2，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）畫圖如圖，∠DCE=∠A．
證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠BCD=180°
∠DCE=∠A；

（2）AB=AC，
證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
又∵∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC，
∵AB=

3

，∠BAC=30°，
∴AC=BC=1，
∵S_{四邊形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC為定值，當(dāng)S_△DAB最大時(shí)，四邊形DACB面積最大，
要使四邊形DACB面積最大，只需求出面積最大的△DAB 即可
在△DAB中，AB邊不變，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí)，四邊形DACB面積最大
此時(shí)△DAB為等邊三角形，此時(shí)DC應(yīng)為圓的直徑，∠DAC=90°
∵∠ADC=∠BAC=30°，
∴DC=2AC=2，
∴四邊形DACB的最大面積=

1

2

×

3

×2=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，熟知圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．