Question

14．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設(shè)過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．
（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此拋物線的解析式；
②由條件可知點D的坐標是（0，4），若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；
（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點D均為定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
②求出△BDM面積的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）①∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；           
②設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∵B（8，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線BD解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4．           
設(shè)M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），
如圖1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．
∴ME=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{1}{4}$x²+x+8．          
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_D）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36；           

（2）如圖2，連接AD、BC．
由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知拋物線y=x²+bx+c（c＜0），
∵OC=-c，OA=-x₁=-$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4c}}{2}$，OB=x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4c}}{2}$，
∴$\frac{OD}{-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{-c}$，且x₁x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4c}}{2}$•$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4c}}{2}$=$\frac{^{2}-^{2}+4c}{4}$=c，
∴OD=$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}}{-c}$=1，
∴無論b，c取何值，點D均為定點，該定點坐標D（0，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟悉待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形面積計算，三角形相似的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的系數(shù)與x軸的交點的關(guān)系等知識點，綜合性較強，有一定的難度．