Question

14．操作：
如圖1，正方形ABCD中，AB=a，點E是CD邊上一個動點，在AD上截取AG=DE，連接EG，過正方形的中線O作OF⊥EG交AD邊于F，連接OE、OG、EF、AC．
探究：
在點E的運動過程中：
（1）猜想線段OE與OG的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）∠EOF的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若不會，求出其度數(shù)，若會，請說明理由．
應(yīng)用：
（3）當(dāng)a=6時，試求出△DEF的周長，并寫出DE的取值范圍；
（4）當(dāng)a的值不確定時：
①若$\frac{AF}{CE}$=$\frac{36}{25}$時，試求$\frac{OF}{OE}$的值；
②在圖1中，過點E作EH⊥AB于H，過點F作FG⊥CB于G，EH與FG相交于點M；并將圖1簡化得到圖2，記矩形MHBG的面積為S，試用含a的代數(shù)式表示出S的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得到△AOG≌△DOG即可；
（2）由△AOG≌△DOG得到結(jié)論，再結(jié)合同角或等角的余角相等求出∠EOF；
（3）判斷出OF垂直平分EG，計算周長即可；
（4）先判斷出△AOF∽△CEO，得出$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=\frac{AF}{CE}$，求出$\frac{OF}{OE}$．

解答 解：（1）OE=OG，
理由：如圖1，

連接OD，在正方形ABCD中，
∵點O是正方形中心，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，
∵AG=DE，
∴△AOG≌△DOG，
∴OE=OG，
（2）∠EOF的度數(shù)不會發(fā)生變化，
理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，
∴∠DOE=∠AOG，
∵∠AOG+∠DOG=90°，
∴∠DOE+∠DOG=90°，
∴∠DOE=∠AOG，
∵∠EOG=90°，
∵OE=OG，OF⊥EG，
∴∠EOF=45°，
∴恒為定值．
（3）由（2）可知，OE=OG，OF⊥EG，
∴OF垂直平分EG，
∴△DEF的周長為DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD，
∵a=6，
∴△DEF的周長為AD=a=6，（0＜DE＜3）
（4）①如圖2，

∵∠EOF=45°，
∴∠COE+AOF=135°
∵∠OAF=45°，
∴∠AFO+∠AOF=135°，
∴∠COE=∠AFO，
∴△AOF∽△CEO，
∴$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=（\frac{0F}{OE}）^{2}$，
∵O到AF與CE的距離相等，
∴$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△CEO}}=\frac{AF}{CE}$，
∴（$\frac{OF}{OE}$）²=$\frac{AF}{CE}=\frac{36}{25}$，
∵$\frac{OF}{OE}$＞0，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{6}{5}$，
②猜想：S=$\frac{1}{2}$a²，
理由：如圖3，

由（1）可知，△AOF∽△CEO，
∴$\frac{AF}{OC}=\frac{OA}{CE}$，
∴AF×CE=OA×OC，
∵EH⊥AB，F(xiàn)G⊥CB，∠B=90°，
∴S=AF×CE，
∴S=OA×OC=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$×$\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{1}{2}$a²．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是角度的計算．