Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．

（1）求二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)在軸下方圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥軸交線(xiàn)段BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN取最大值時(shí)，點(diǎn)M 的坐標(biāo)；

（3）將該拋物線(xiàn)向上或向下平移，使得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D落在x軸上，原拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，如果∠OQP=∠OPQ，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣2x﹣3，頂點(diǎn)D（1，﹣4）；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；（3）Q（，2）或（，2）

【解析】

（1）把點(diǎn)A（-1，0），C（0，﹣3）代入解析式求解，然后化為頂點(diǎn)式即可；

（2）由（1）的解析式求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到B（3,0），根據(jù)已知條件求出直線(xiàn)BC的解析式，根據(jù)M在二次函數(shù)的圖像上，N在一次函數(shù)圖像上，可設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為M ，N，可得MN ，得到關(guān)于m的方程，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)果；

（3）先根據(jù)頂點(diǎn)在x軸上確定函數(shù)平移的距離，再根據(jù)∠OQP=∠OPQ得到OP=OQ，即可得到結(jié)果．

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（0，﹣3）;

得;

∴;

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣2x﹣3;

∴y=（x﹣1）2﹣4;

∴頂點(diǎn)D（1，﹣4）.

（2）∵y=x2﹣2x﹣3;

當(dāng) y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0;

解得 ，;

∴B（3,0）.

設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y=kx+b（k≠0）;

把B（3，0）、C（0，-3）代入y=kx+b;

可得;

解得：;

∴直線(xiàn)BC解析式為;

設(shè)M ，N;

∴MN

;

∴當(dāng)MN最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

（3）由（1）可得拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），根據(jù)題意可得拋物線(xiàn)向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度;

∵點(diǎn)P在原拋物線(xiàn)y=x2﹣2x﹣3上;

∴設(shè)P（x, x2﹣2x﹣3）,則Q(x, x2﹣2x+1);

∵∠OQP=∠OPQ;

∴OP=OQ;

∴得到或;

∴Q（，2）或（，2）．