Question

如圖，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過(guò)Rt△OMN斜邊上的點(diǎn)A，與直角邊MN相交于點(diǎn)B，已知OA=2AN，△OAB的面積為10，則k的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：

分析：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C，易得△OAC∽△ONM，則OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），得到N點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

a，

3

2

b），由點(diǎn)A與點(diǎn)B都在y=

k

x

的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的坐標(biāo)特點(diǎn)得B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

a，

2

3

b），由OA=2AN，△OAB的面積為10，△NAB的面積為5，則△ONB的面積=10+5=15，根據(jù)三角形面積公式得

1

2

NB•OM=15，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=15，化簡(jiǎn)得ab=24，即可得到k的值．

解答：解：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖，
則AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，NM=

3

2

b，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

a，

3

2

b），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

3

2

a，設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B都在y=

k

x

圖象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面積為10，
∴△NAB的面積為5，
∴△ONB的面積=10+5=15，
∴

1

2

NB•OM=15，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=15，
∴ab=24，
∴k=24．
故答案為24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=

k

x

圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．