Question

18．如圖所示，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且∠APB：∠BPC：∠CPA=3：4：5，求以PA，PB，PC為邊的三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C，顯然有△AP′C≌△APB，連PP′，則AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等邊三角形，PP′=AP，根據(jù)已知條件得到∠APB=90°，∠BPC=120°，∠CPA=150°，然后根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，將△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C，顯然有△AP′C≌△APB，連PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等邊三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三邊長分別為PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=3：4：5，
∴∠APB=90°，∠BPC=120°，∠CPA=150°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=90°-60°=30°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=150°-60°=90°，
∠PCP′=180°-（30°+90°）=60°，
∴以PA，PB，PC為邊的三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)為：30°，60°，90°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．