Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，F為線段BE上任意一點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EG.

（1）按請按要求補(bǔ)全圖形：連接BG過點(diǎn)G作GH⊥BG，交對角線AC于點(diǎn)H，連接DH；

（2）判斷DH與GH的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論：DH＝GH．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．

（2）結(jié)論：DH＝GH．如圖2中，連接BD交AC于O，連接BH，OG．想辦法證明△BGH是等腰直角三角形，DH＝BH即可解決問題．

（1）如圖1所示：

（2）結(jié)論：DH＝GH．

理由：如圖2中，連接BD交AC于O，連接BH，OG．

∵AE＝EB，GE⊥AB，

∴GE是AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)E，G，O共線，

∵AE＝EB，AO＝OC，

∴EO∥BC，

∴∠EOB＝∠OBC＝45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOH＝∠BGH＝90°，

∴B，G，O，H四點(diǎn)共圓，

∴∠GOB＝∠GHB＝45°，

∴△BGH是等腰直角三角形，

∴BH＝GH，

在△AHB和△AHD中，

∴△AHB≌△AHD（SAS），

∴DH＝BH，

∴DH＝GH．