Question

【題目】如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形CEDF為正方形；

（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，先證明四邊形FCED是矩形，再由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知，DF=DE=DN，即可判定矩形FCED是正方形；

（2）根據(jù)勾股定理求出AB，△ABC可以拆分為△ACD，△BCD，△ABD三個(gè)小三角形，根據(jù)面積大三角形面積等于三個(gè)小三角形面積之和建立等量關(guān)系，可求出CE.

（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，

∵∠C＝90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，

∴四邊形FCED是矩形，

又∵∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，

∴DF＝DE＝DN，

∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，

∴AB＝10，

∵四邊形CEDF為正方形，

∴DF＝DE＝DN，

∴，

則，

故EC＝＝2．