Question

已知等邊△ABC的邊長為6，A點坐標為（2，0），B點在x軸上，C點在第一象限．
（1）求頂點B、C的坐標；
（2）以點B為中心，將等邊△ABC順時針旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)后的等邊三角形與原來的等邊三角形組成一個四邊形，求這個四邊形的第四個頂點坐標；
（3）求（2）中所得到的四邊形的對角線的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點坐標及AB的長，易求得點B的坐標，進而可結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)求得C點坐標．
（2）由于△ABC是等邊三角形，若旋轉(zhuǎn)角度為60°，那么CD∥AB，因此只需將點C向右平移AB個單位即可求得點D的坐標．
（3）顯然四邊形ABDC是菱形，那么它的對角線互相垂直平分，即可通過解直角三角形求得兩條對角線的長．

解答：解：（1）如圖；
∵A點坐標為（2，0），|AB|=6，
∴|OB|=8，∴B點坐標為（8，0）．（2分）
作CH⊥AB于H，∵|AH|=3，|AC|=6，
∴|CH|=

|AC|2-|AH|2

=

62-32

=

27

=3

3

．
∴C點坐標為(5，3

3

)．（4分）

（2）以B為中心，將等邊△ABC順時針旋轉(zhuǎn)60°，則A點旋轉(zhuǎn)到C點，C點旋轉(zhuǎn)到D點，如右圖，則D點坐標為(11，3

3

)．

（3）如右圖，∵|AB|=|BD|=|DC|=|CA|=6，
∴四邊形ABDC是菱形．
∵△ABC是等邊三角形，∴對角線|BC|=6．（6分）
連接AD，則AD⊥BC，若AD與BC交于M，則AM=

3

2

×6=3

3

．
∴|AD|=6

3

，即對角線BC=6，AD=6

3

．（8分）
（注：本題不畫圖不扣分）

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，難度適中．