Question

如圖所示，△ABP和△CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且AP⊥PD，有以下四個(gè)結(jié)論：
①∠PBC=∠PCB=15°；②AD∥BC；③直線PC與AB垂直；④四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形．
其中正確結(jié)論有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),軸對(duì)稱圖形

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)得出∠PAB=∠APB=∠PBA=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，AB=DC，PB=PC，PA=PD，∠APD=90°，再逐個(gè)求出即可．

解答：解：延長CP交AB于M，
∵△ABP和△CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且AP⊥PD，
∴∠PAB=∠APB=∠PBA=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，AB=DC，PB=PC，PA=PD，∠APD=90°，
∴∠BPC=380°-90°-60°-60°=150°，∠PAD=∠PDA=45°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=15°，
∴∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，
∵∠CMB=180°-15°-15°-60°=90°，
∴CP⊥AB，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，
∴①②③④都正確，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．