Question

8．點A是雙曲線$y=\frac{k}{x}$與直線y=-x-（k+1）在第二象限的交點，AB垂直x軸于點B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$；
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）求直線與雙曲線的交點坐標和△AOC的面積；
（3）請結(jié)合圖象直接寫出當$\frac{k}{x}+x$+（k+1）＞0時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)A點坐標為（x，y），則OB=-x，AB=y，根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（-x）•y=$\frac{3}{2}$，即xy=-3；再把A（x，y）代入反比例函數(shù)解析式中得到xy=k，則有k=-3，這樣可確定兩函數(shù)解析式；
（2）先利用直線y=-x+2確定D點坐標，再解有兩個解析式所組成的方程組得到A點和C點坐標，然后利用S_△AOC=S_△AOD+S_△COD進行計算．
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得．

解答 解：（1）設(shè)A點坐標為（x，y），且x＜0，y＞0，
則S_△ABO=$\frac{1}{2}$•|BO|•|BA|=$\frac{1}{2}$×（-x）•y=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-3，又∵$y=\frac{k}{x}$，
即xy=k，
∴k=-3，
∴所求的兩個函數(shù)的解析式分別為y=-$\frac{3}{x}$，y=-x+2；
（2）由y=-x+2，
令x=0，得y=2．
∴直線y=-x+2與y軸的交點D的坐標為（0，2），
A、C兩點坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$
∴交點A為（-1，3），C為（3，-1），
∴S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4；
（3）由圖象可知：$\frac{k}{x}+x$+（k+1）＞0時x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞3．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題的知識點，此題首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后利用解方程組來確定圖象的交點坐標，及利用坐標求出線段和圖形的面積．