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如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O為矩形ABCD的中心,以D為圓心1為半徑作⊙D,P為⊙D上的一個動點,連接AP、OP,則△AOP面積的最大值為( 。
A、4
B、
21
5
C、
35
8
D、
17
4
考點:切線的性質,矩形的性質
專題:
分析:當P點移動到平行于OA且與⊙D相切時,△AOP面積的最大,由于P為切點,得出MP垂直與切線,進而得出PM⊥AC,根據勾股定理先求得AC的長,進而求得OA的長,根據△ADM∽△ACD,求得DM的長,從而求得PM的長,最后根據三角形的面積公式即可求得;
解答:解:當P點移動到平行于OA且與⊙D相切時,△AOP面積的最大,如圖,
∵P是⊙D的切線,
∴DP垂直與切線,
延長PD交AC于M,則DM⊥AC,
∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,
∴AC=
AB2+BC2
=5,
∴OA=
5
2
,
∵∠AMD=∠ADC=90°,∠DAM=∠CAD,
∴△ADM∽△ACD,
DM
CD
=
AD
AC
,
∵AD=4,CD=3,AC=5,
∴DM=
12
5
,
∴PM=PD+DM=1+
12
5
=
17
5

∴△AOP的最大面積=
1
2
OA•PM=
1
2
×
5
2
×
17
5
=
17
4
,
故選D.
點評:本題考查了圓的切線的性質,矩形的性質,平行線的性質,勾股定理的應用以及三角形相似的判定和性質,本題的關鍵是判斷出P處于什么位置時面積最大;
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

點A(x1,y1),點B(x2,y2)是直線y=-2x+3上的兩點,若x1<x2,則y1
 
y2(填“=”、“>”、“<”).

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科目:初中數學 來源: 題型:

三角形三邊長分別為6cm,8cm,10cm,則它的內切圓半徑為
 
 cm.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,射線PN與等腰梯形ABCD的兩邊AB,CD分別交于點M,N,且AD∥PN,PM=1cm,
AM
MB
=
5
7
,AB=12cm,AD=3cm,BC=17.4cm,動點Q從P出發(fā),沿射線PN以每秒 是1cm 的速度遞右移動,經過t秒,以點Q為圓心,tcm 為半徑的圓與等腰梯形ABCD的邊相切,請寫出t可以取得一切值
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,P是∠α的邊OA上一點,點P的坐標為(12,5),則∠α的正弦值為(  )
A、
5
13
B、
12
13
C、
5
12
D、
12
5

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科目:初中數學 來源: 題型:

在下列說法中,正確的有( 。
①三角分別相等的兩個三角形全等;   
②三邊分別相等的兩個三角形全等;
③兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等;
④兩邊及其中一組等邊的對角分別相等的兩個三角形全等.
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,四邊形OABC是正方形,點B的坐標是(6,6),D是邊OA的中點,E是對角線OB上的一點,若AE+DE最小,則點E的坐標是( 。
A、(5,5)
B、(4,4)
C、(3,3)
D、(2,2)

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,E是AB邊上的點,DE⊥BC于D,連接AD,EC相交于點F,且AD=AC,∠B=∠ECB.
(1)求證:△ABC∽△FCD;
(2)若AC=2,求FD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,點D為AB的中點.
(1)如果點P在線段BC上以6cm/s的速度由B點向C點運動,同時點Q在線段CA上由C向A點運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經過1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā),點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運動,求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?

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