Question

如圖，射線PN與等腰梯形ABCD的兩邊AB，CD分別交于點M，N，且AD∥PN，PM=1cm，

AM

MB

=

5

7

，AB=12cm，AD=3cm，BC=17.4cm，動點Q從P出發(fā)，沿射線PN以每秒 是1cm 的速度遞右移動，經過t秒，以點Q為圓心，tcm 為半徑的圓與等腰梯形ABCD的邊相切，請寫出t可以取得一切值

 

．

Answer 1

考點：切線的性質,平行線之間的距離,全等三角形的判定與性質,勾股定理,平行四邊形的判定與性質,等腰梯形的性質,平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質

專題：計算題,分類討論

分析：過點A作AG⊥BC交于點G，交PN于點E，過點D作DH⊥BC交于點H，交PN于點F，如圖1，利用等腰梯形的性質、平行線分線段成比例、勾股定理等知識可以求出圖1中所有線段，然后分四種情況（⊙Q分別與AB、AD、DC、BC相切）進行討論，利用相似三角形的性質或平行線間的垂線段相等等知識就可解決問題．

解答：解：過點A作AG⊥BC交于點G，交PN于點E，過點D作DH⊥BC交于點H，交PN于點F，如圖1，

則有∠AGB=∠AGC=∠DHB=∠DHC=90°．
∴AG∥DH．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C．
在△AGB和△DHC中，

∠AGB=∠DHC ∠B=∠C AB=DC

．
∴△AGB≌△DHC（AAS）．
∴AG=DH，BG=HC．
∵AG∥DH，AG=DH，
∴四邊形AGHD是平行四邊形．
∴GH=AD=3．
同理：EF=AD=3．
∴BG=HC=

17.4-3

2

=7.2．
∴AG=DH=

122-7．22

=9.6．
∵PN∥AD∥BC，

AM

BM

=

5

7

，
∴

AE

EG

=

DF

HF

=

AM

BM

=

5

7

．
∴AE=

5

12

AG=4，EG=9.6-4=5.6．
同理：DF=4，HF=5.6，DN=AM=5，CN=BM=7．
∴ME=FN=

52-42

=3，PN=PM+ME+EF+FN=10．
①若⊙Q與AB相切于點K，連接QK，如圖2，

則有∠QKM=90°=∠AEM，QK=PQ=t，QM=1-t．
∵∠QMK=∠AME，
∴△QMK∽△AME．
∴

QM

AM

=

QK

AE

．
∴

1-t

5

=

t

4

．
解得：t=

4

9

．
②若⊙Q與AD相切于點S，連接QS，如圖3，

則有QS⊥AD．
∵AD∥MN，AE⊥AD，QS⊥AD，
∴QS=AE=4（平行線間的垂線段相等）．
∴t=4．
③若⊙Q與DC相切于點R，連接QR，如圖4，

則有∠QRN=90°=∠DFN．
∵∠QNR=∠DNF，
∴△QNR∽△DNF．
∴

QR

DF

=

QN

DN

．
∴

t

4

=

10-t

5

．
解得：t=

40

9

．
④若⊙Q與BC相切于點T，連接QT，如圖5，

則有QT⊥BC．
∵MN∥BC，QT⊥BC，EG⊥BC，
∴QT=EG=5.6=

28

5

．
故答案為：t=

4

9

或4或

40

9

或

28

5

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質、切線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例、平行線間的垂線段相等、平行四邊形的判定與性質、勾股定理等知識，有一定的綜合性，另外還重點考查了分類討論的數學思想，是一道好題．