Question

12．如圖，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜邊BC上的中點(diǎn)，一塊直角三角板直角頂點(diǎn)與D重合，繞D轉(zhuǎn)動(dòng)，直角三角板的兩直角邊分別與AB，AC交于E、F．
（1）（如圖1）若AB=AC，直角三角形在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中是否始終有DE=DF，并說明理由．
（2）（如圖1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積．
（3）（如圖1）若AB=AC，求證：BE²+CF²=EF²．
（4）（如圖2）若AB≠AC，是否仍然有BE²+CF²=EF²成立？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=BD=DC，證出∠EDA=∠CDF，由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，DE=DF即可；（2）證出BE=AF，根據(jù)勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)果．
（3）由（1）得：AE=CF，BE=AF，由勾股定理即可得出結(jié)論．
（4）延長(zhǎng)ED至G，使GD=ED，連接CG，則DF垂直平分EG，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EF=GF，由SAS證明△BDE≌△CDG，得出BE=CG，∠B=∠DCG，證出∠FCG=90°，由勾股定理即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：始終有DE=DF，理由如下：
連接AD，如圖1所示：
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠CDF}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠EAD=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，DE=DF；
（2）解：∵AB=AC，AE=CF，
∴BE=AF=12，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=13，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED²+DF²=EF²=13²，
DE=DF=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴△DEF的面積S=$\frac{1}{2}$×DE×DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{13\sqrt{2}}{2}$×$\frac{13\sqrt{2}}{2}$=$\frac{169}{4}$；
（3）證明：∵AB=AC，∠CAB=90°，
由（1）得：AE=CF，BE=AF，
∴BE²+CF²=AF²+AE²=EF²．
（4）解：BE²+CF²=EF²成立；理由如下：
延長(zhǎng)ED至G，使GD=ED，連接CG、FG，如圖2所示：
則DF垂直平分EG，
∴EF=GF，
在△BDE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}&{\;}\\{∠BDE=∠CDG}&{\;}\\{ED=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠B=∠DCG，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCG+∠ACB=90°，
即∠FCG=90°，
∴CG²+CF²=GF²，
∴BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．