Question

11．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，有下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD=$\sqrt{2}$；④S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，其中正確的結(jié)論是①②④．（填寫序號即可）

Answer 1

分析 ①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，故②正確；
③而CD與AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值無法判斷，故④錯誤；
④根據(jù)△AEF∽△CBF得到$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}$，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCDS_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，即可得到S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正確．

解答 解：過D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確，
設(shè)AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{a}$=$\frac{\frac{a}{2}}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}$，
∴tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③錯誤；
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABF，S_△ABF=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD
∴S_△AEF=$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD，
又∵S_{四邊形CDEF}=S_△ACD-S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S_矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S_矩形ABCD，
∴S_{四邊形CDEF}=$\frac{5}{2}$S_△ABF，故④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．