【問(wèn)題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)分別作出判斷,不需要證明.
考點(diǎn):四邊形綜合題,角平分線的定義,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)
專(zhuān)題:綜合題,壓軸題,探究型
分析:(1)從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā),延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),易證△ADE≌△NCE,從而有AD=CN,只需證明AM=NM即可.
(2)作FA⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證AM=FM,只需證明FB=DE即可;要證FB=DE,只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可.
(3)在圖2(1)中,仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立;在圖2(2)中,采用反證法,并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.
解答:(1)證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),

∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,
∠DAE=∠CNE
∠AED=∠NEC
DE=CE

∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.

(2)AM=DE+BM成立.
證明:過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.

∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∠FAB=∠EAD
AB=AD
∠ABF=∠D=90°

∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.

(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P,如圖2(1),

∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∠DAE=∠CPE
∠AED=∠PEC
DE=CE

∴△ADE≌△PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.
過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,如圖2(2)所示.

∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°-∠QAB
=90°-∠DAE
=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∠QAB=∠EAD
∠ABQ=∠D=90°
BQ=DE

∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
與條件“AB≠AD“矛盾,故假設(shè)不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí),考查了基本模型的構(gòu)造(平行加中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形),考查了反證法的應(yīng)用,綜合性比較強(qiáng).添加輔助線,構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中點(diǎn),將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)E落在CB的延長(zhǎng)線上點(diǎn)F處,點(diǎn)C落在點(diǎn)A處.再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG,連接EF,CG.
(1)求證:EF∥CG;
(2)求點(diǎn)C,點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的
AC
AG
與線段CG所圍成的陰影部分的面積.

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如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A、B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào).已知A、B兩船相距100(
3
+1)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D,測(cè)得船C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD(如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào),請(qǐng)保留根號(hào)).
(2)已知距觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C,在去營(yíng)救的途中有無(wú)觸暗礁危險(xiǎn)?(參考數(shù)據(jù):
2
≈1.41,
3
≈1.73)

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已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,其圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A(1,0),B(3,0),交y軸于點(diǎn)C,直線l過(guò)點(diǎn)C,且交拋物線于另一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合).
(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式;
(2)若直線l1經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)F,且l1∥l,則以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸,交直線l于點(diǎn)G,連接OG、BE,試證明OG∥BE.

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計(jì)算:|
3
-5|+2cos30°+(
1
3
-1+(9-
3
0+
4

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)P是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合).

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(2)連接CD、BD、DP,延長(zhǎng)DP交x軸正半軸于點(diǎn)E,且S△OCE=S四邊形OCDB,求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸交BC于點(diǎn)F,求線段PF長(zhǎng)度的最大值.

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某校九(3)班去大冶茗山鄉(xiāng)花卉基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),該基地有玫瑰花和薰衣草兩種花卉,活動(dòng)后,小明編制了一道數(shù)學(xué)題:花卉基地有甲乙兩家種植戶,種植面積與賣(mài)花總收入如下表.(假設(shè)不同種植戶種植的同種花卉每畝賣(mài)花平均收入相等)
種植戶玫瑰花種植面積(畝)薰衣草種植面積(畝)賣(mài)花總收入(元)
5333500
3743500
(1)試求玫瑰花,薰衣草每畝賣(mài)花的平均收入各是多少?
(2)甲、乙種植戶計(jì)劃合租30畝地用來(lái)種植玫瑰花和薰衣草,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,要求玫瑰花的種植面積大于薰衣草的種植面積(兩種花的種植面積均為整數(shù)畝),花卉基地對(duì)種植玫瑰花的種植給予補(bǔ)貼,種植玫瑰花的面積不超過(guò)15畝的部分,每畝補(bǔ)貼100元;超過(guò)15畝但不超過(guò)20畝的部分,每畝補(bǔ)貼200元;超過(guò)20畝的部分每畝補(bǔ)貼300元.為了使總收入不低于127500元,則他們有幾種種植方案?

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從長(zhǎng)度分別為2,4,6,7的四條線段中隨機(jī)取三條,能構(gòu)成三角形的概率是
 

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(用含t的代數(shù)式表示).

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