Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D為拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）．

（1）求∠OBC的度數(shù)；
（2）連接CD、BD、DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且S_△OCE=S_{四邊形OCDB}，求此時P點的坐標；
（3）過點P作PF⊥x軸交BC于點F，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,直角三角形的性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由拋物線已知，則可求三角形OBC的各個頂點，易知三角形形狀及內(nèi)角．
（2）因為拋物線已固定，則S_{四邊形OCDB}固定，對于坐標系中的不規(guī)則圖形常用分割求和、填補求差等方法求面積，本圖形過頂點作x軸的垂線及可將其分為直角梯形及直角三角形，面積易得．由此可得E點坐標，進而可求ED直線方程，與拋物線解析式聯(lián)立求解即得P點坐標．
（3）PF的長度即為y_F-y_P．由P、F的橫坐標相同，則可直接利用解析式作差．由所得函數(shù)為二次函數(shù)，則可用二次函數(shù)性質(zhì)討論最值，解法常規(guī)．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴由題意得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．

（2）如圖1，過點D作DH⊥x軸于H，
此時S_{四邊形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，

∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S_梯形OCDH=

1

2

•（OC+HD）•OH=

7

2

，
S_△HBD=

1

2

•HD•HB=4，
∴S_{四邊形OCDB}=

15

2

．
∴S_△OCE=S_{四邊形OCDB}=

15

2

=

1

2

•OC•OE，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
設l_DE：y=kx+b，
∵D（1，-4），E（5，0），
∴

-4=k+b 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
∴l(xiāng)_DE：y=x-5．
∵DE交拋物線于P，設P（x，y），
∴x²-2x-3=x-5，
解得 x=2 或x=1（D點，舍去），
∴x_P=2，代入l_DE：y=x-5，
∴P（2，-3）．

（3）如圖2，

設l_BC：y=ax+t（a≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴

0=3a+t -3=t

，
解得

a=1 t=-3

，
∴l(xiāng)_BC：y=x-3．
∵F在BC上，
∴y_F=x_F-3，
∵P在拋物線上，
∴y_P=x_P²-2x_P-3，
∴線段PF長度=y_F-y_P=x_F-3-（x_P²-2x_P-3），
∵x_P=x_F，
∴線段PF長度=-x_P²+3x_P=-（x_P-

3

2

）²+

9

4

，（1＜x_P＜3），
∴當x_P=

3

2

時，線段PF長度最大為

9

4

．

點評：本題考查了拋物線圖象性質(zhì)、已知兩點求直線解析式、直角三角形性質(zhì)及二次函數(shù)最值等基礎知識點，適合學生加強練習．